حل تمرین صفحه 56 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین صفحه 56 ریاضی دهم - رابطه تبدیل سلام! این تمرین در مورد اثبات یک **خاصیت اساسی رادیکال‌ها** است که به شما اجازه می‌دهد توان داخل رادیکال را به خارج از آن منتقل کنید. این خاصیت به خصوص در ساده‌سازی عبارات رادیکالی بسیار مفید است. ### **اصل خاصیت** خاصیت مورد نظر: $$\sqrt[k]{a^m} = (\sqrt[k]{a})^m$$ **شرط مهم:** * $k$ و $m$ اعداد صحیح هستند ($k \ge 2$). * اگر **فرجه $k$ زوج** باشد، حتماً باید **$a \ge 0$** باشد (تا رادیکال تعریف شود). ### **اثبات با استفاده از تعریف توان گویا** راه رسمی اثبات این است که رادیکال را به شکل **توان گویا** بنویسیم. می‌دانیم که $$\sqrt[k]{a} = a^{\frac{1}{k}}$$ و $\sqrt[k]{a^m} = a^{\frac{m}{k}}$ است. 1. **طرف چپ:** $$\sqrt[k]{a^m} = \mathbf{a^{\frac{m}{k}}}$$ 2. **طرف راست:** $$(\sqrt[k]{a})^m = \left( a^{\frac{1}{k}} \right)^m$$ با استفاده از قانون توان ($\left( x^y \right)^z = x^{yz}$): $$(\sqrt[k]{a})^m = a^{\frac{1}{k} \times m} = \mathbf{a^{\frac{m}{k}}}$$ چون طرف چپ با طرف راست برابر شد، درستی رابطه **اثبات می‌شود**. *** ### **بررسی با مثال‌های عددی** #### **حالت ۱: فرجه $k$ زوج و $a$ مثبت** فرض کنید $k=4$، $m=3$ و $a=16$. (چون $k$ زوج است، $a$ باید مثبت باشد.) * **طرف چپ:** $$\sqrt[4]{a^m} = \sqrt[4]{16^3} = \sqrt[4]{4096} = \mathbf{8}$$ * **طرف راست:** $$(\sqrt[k]{a})^m = (\sqrt[4]{16})^3 = (2)^3 = \mathbf{8}$$ **نتیجه:** در این حالت، تساوی برقرار است ($8 = 8$). #### **حالت ۲: فرجه $k$ فرد و $a$ منفی** فرض کنید $k=3$، $m=2$ و $a=-8$. (چون $k$ فرد است، $a$ می‌تواند منفی باشد.) * **طرف چپ:** $$\sqrt[k]{a^m} = \sqrt[3]{(-8)^2} = \sqrt[3]{64} = \mathbf{4}$$ * **طرف راست:** $$(\sqrt[k]{a})^m = (\sqrt[3]{-8})^2 = (-2)^2 = \mathbf{4}$$ **نتیجه:** در این حالت نیز تساوی برقرار است ($4 = 4$). #### **حالت ۳: یک استثنای احتمالی (برای یادآوری)** رابطه‌ی مشابهی به صورت $\sqrt[k]{a^k} = a$ تنها زمانی درست است که $k$ فرد باشد. اگر $k$ زوج باشد، باید نوشت: $\sqrt[k]{a^k} = |a|$. اما در رابطه‌ی داده‌شده در تمرین ($\sqrt[k]{a^m} = (\sqrt[k]{a})^m$)، با رعایت شرط $\mathbf{a \ge 0 \text{ اگر } k \text{ زوج باشد}}$، هیچ مشکلی پیش نمی‌آید و تساوی همیشه برقرار است. **جمع‌بندی:** با رعایت شرط $\mathbf{a \ge 0}$ در حالتی که $k$ زوج است، درستی رابطه‌ی $\mathbf{\sqrt[k]{a^m} = (\sqrt[k]{a})^m}$ **همواره** با تبدیل به توان گویا و قوانین توان‌ها اثبات می‌شود.